Question

11．函数f（x）=lnx，g（x）=x²-x-m，
（Ⅰ）若函数F（x）=f（x）-g（x），求函数F（x）的极值．
（Ⅱ）若f（x）+g（x）＜x²-（x-2）e^x在x∈（0，3）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出F（x）的导数，注意定义域，列表表示F（x）和导数的关系，以及函数的单调区间，即可得到极大值，无极小值；
（Ⅱ）f（x）+g（x）＜x²-（x-2）e^x在（0，3）恒成立，整理为：m＞（x-2）e^x+lnx-x在x∈（0，3）恒成立；设h（x）=（x-2）e^x+lnx-x，运用导数求得h（x）在（0，3）的最大值，即可得到m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）F（x）=lnx-x²+x+m，定义域（0，+∞），
F′（x）=$\frac{1}{x}$-2x+1=-$\frac{（2x+1）（x-1）}{x}$，
F′（x）=0，可得x=1，

x	（0，1）	1	（1，+∞）
F′（x）	+	0	-
F（x）	递增	极大值	递减

则F（x）的极大值为F（1）=m，没有极小值；
（Ⅱ）f（x）+g（x）＜x²-（x-2）e^x在（0，3）恒成立；
整理为：m＞（x-2）e^x+lnx-x在x∈（0，3）恒成立；
设h（x）=（x-2）e^x+lnx-x，则h′（x）=（x-1）（e^x-$\frac{1}{x}$），
x＞1时，x-1＞0，且e^x＞e，$\frac{1}{x}$＜1，即h′（x）＞0；            
0＜x＜1时，x-1＜0，
设u=e^x-$\frac{1}{x}$，u′=e^x+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，u在（0，1）递增，
x→0时，$\frac{1}{x}$→+∞，即u＜0，x=1时，u=e-1＞0，
即?x₀∈（0，1），使得u₀=${e}^{{x}_{0}}$-$\frac{1}{{x}_{0}}$=0，∴x∈（0，x₀）时，u＜0；x∈（x₀，1）时，u＞0，
x∈（0，x₀）时，h′（x）＞0；x∈（x₀，1）时，h′（x）＜0．
函数h（x）在（0，x₀）递增，（x₀，1）递减，（1，3）递增，
h（x₀）=（x₀-2）${e}^{{x}_{0}}$+lnx₀-x₀=（x₀-2）•$\frac{1}{{x}_{0}}$-2x₀=1-$\frac{2}{{x}_{0}}$-2x₀，
由x₀∈（0，1），-$\frac{2}{{x}_{0}}$＜-2，h（x₀）=1-$\frac{2}{{x}_{0}}$-2x₀＜-1-2x₀＜-1，
h（3）=e³+ln3-3＞0，
即x∈（0，3）时，h（x）＜h（3），即m≥h（3），
则实数m的取值范围是（e³+ln3-3，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值，同时考查不等式的恒成立问题转化为求最值问题，属于中档题．