Question

18．“坐标法”是以坐标系为桥梁，把几何问题转化成代数问题，通过代数运算研究图形的几何性质的方法，它是解析几何中是基本的研究方法．请用坐标法证明下面问题：
已知圆O的方程是x²+y²=1，点A（1，0），P、Q是圆O上异于A的两点．证明：弦PQ是圆O直径的充分必要条件是$\overrightarrow{AP}?\overrightarrow{AQ}=0$．

Answer 1

分析 ①充分性：由$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$=0，得出∠PAQ=90°，设出直线AP、AQ的方程，与圆O的方程联立，
求出$\overrightarrow{OP}$、$\overrightarrow{OQ}$的坐标表示，得出P、Q的关系，即正PQ是圆的直径；
②必要性：由弦PQ是圆的直径，设出P、Q的坐标，计算$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$的值即可．

解答 证明：①充分性：若$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$=0，即∠PAQ=90°，
设直线AP的方程是x=my+1，代入x²+y²=1得
（m²+1）y²+2my=0；------（2分）
因为y≠0，所以y=-$\frac{2m}{{m}^{2}+1}$，从而得
$\overrightarrow{OP}$=（$\frac{1{-m}^{2}}{{m}^{2}+1}$，-$\frac{2m}{{m}^{2}+1}$）；------（4分）
因为∠PAQ=90°，所以直线AQ的方程为x=-$\frac{1}{m}$y+1；
以-$\frac{1}{m}$代换点Q坐标中的m，得
$\overrightarrow{OQ}$=（$\frac{{m}^{2}-1}{{m}^{2}+1}$，$\frac{2m}{{m}^{2}+1}$）；-----（5分）
显然$\overrightarrow{OP}$=-$\overrightarrow{OQ}$，即弦PQ是圆的直径；------（6分）
②必要性：若弦PQ是圆的直径，可设P（x₁，y₁），Q（-x₁，-y₁），
$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$=（x₁-1，y₁）•（-x₁-1，-y₁）=1-${{x}_{1}}^{2}$-${{y}_{1}}^{2}$；-----（10分）
因为${{x}_{1}}^{2}$+${{y}_{1}}^{2}$=1，所以$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$=0．-----（12分）

点评 本题考查了直线与圆的应用问题，也考查了平面向量的应用问题，考查了证明与推理能力，是综合性问题．