Question

6．已知关于x，y的方程C：x²+y²-2x-4y+a=0表示圆．
（1）若圆C与圆P：x²+y²-8x-12y+43=0外切，求a的值；
（2）若直线2x+y-5=0与圆C交于不同的两点M，N，且△MON（O是坐标原点）的面积为2，求a的值．

Answer 1

分析 （1）分别求出圆C和圆P的圆心和半径，根据两圆外切，得到方程，解出a的值即可；
（2）根据三角形面积公式求出|MN|的长，根据点到直线的距离公式，求出圆心到直线的距离，从而求出a的值．

解答 解：（1）原方程可化为：（x-1）²+（y-2）²=5-a，则a＜5，
∴⊙C的圆心为：C（1，2），半径r₁=$\sqrt{5-a}$，
而圆x²+y²-8x-12y+43=0可化为：（x-4）²+（y-6）²=9，
则它的圆心是：P（4，6），半径r₂=3，
又∵⊙C和⊙P外切，
∴|CP|=r₁+r₂，
即$\sqrt{{（4-1）}^{2}{+（6-2）}^{2}}$=3+$\sqrt{5-a}$，解得：a=1；
（2）∵S=$\frac{1}{2}$|MN|h=2，h=$\frac{|2×1+1×2-5|}{\sqrt{{2}^{2}{+1}^{2}}}$=$\sqrt{5}$，
∴|MN|=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∵圆心C到直线2x+y-5=0的距离为：
d=$\frac{|2×1+1×2-5|}{\sqrt{{2}^{2}{+1}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵${{r}_{1}}^{2}$=d²+$\frac{1}{2}$（|MN|）²，
∴5-a=$\frac{1}{5}$+$\frac{4}{5}$=1，解得：a=4．

点评 本题考查了直线和圆、圆和圆的位置关系，考查点到直线的距离，本题属于中档题．