Question

1．已知f（x）=xlnx+m（1-x²），（m∈R）
（1）当m=$\frac{1}{2}$时，求函数f（x）的单调区间；
（2）令F（x）=$\frac{m-f（x）}{x}$，G（x）=$\frac{{x}^{2}-3}{{e}^{x}}$，若m＞$\frac{1}{e}$时，对于任意的x₁∈[1，e]总存在唯一的x₂∈[2，+∞），使F（x₁）=G（x₂），求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出当m=$\frac{1}{2}$时，f（x）的解析式和导数，判断导数的符号，设g（x）=-x+lnx+1，求出最值即可得到所求单调区间；
（2）运用导数，分别求得F（x）和G（x）的值域，由题意可得F（x）的值域包含于G（x）的值域，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（1）当m=$\frac{1}{2}$时，f（x）=xlnx+1-x²，
导数f′（x）=lnx+1-x，（x＞0），
设g（x）=-x+lnx+1，则g′（x）=-1+$\frac{1}{x}$．
令g′（x）=0，得x=1．
当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数g（x）是增函数；
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，函数g（x）是减函数．
函数g（x）的最大值为g（1）=0．
即有g（x）=f′（x）≤0，（仅当x=1时取等号），
f（x）在（0，+∞）是减函数；
（2）F（x）=$\frac{m-f（x）}{x}$=mx-lnx，导数F′（x）=m-$\frac{1}{x}$，
当$\frac{1}{e}$＜m≤1时，F（x）在[1，e]上，即有x=$\frac{1}{m}$处导数左负右正，F（x）取得最小值，且为
lnm+1，最大值为{F（1），F（e）}，
当m＞1时，F（x）在[1，e]上递增，则F（x）的值域为[m，me-1]，
G（x）=$\frac{{x}^{2}-3}{{e}^{x}}$的导数为G′（x）=$\frac{-（x-3）（x+1）}{{e}^{x}}$，
当2＜x＜3时，G′（x）＞0，G（x）递增，当x＞3时，G′（x）＜0，G（x）递减．
则G（x）在[2，+∞）的最大值为G（3）=$\frac{6}{{e}^{3}}$，
即有x∈[2，+∞），G（x）的值域为（-∞，$\frac{6}{{e}^{3}}$]，
若m＞$\frac{1}{e}$时，对于任意的x₁∈[1，e]，总存在唯一的x₂∈[2，+∞），使F（x₁）=G（x₂），
则有F（x）的值域包含于G（x）的值域，
即有$\left\{\begin{array}{l}{m＞1}\\{me-1≤\frac{6}{{e}^{3}}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{e}＜m≤1}\\{m≤\frac{6}{{e}^{3}}}\\{me-1≤\frac{6}{{e}^{3}}}\end{array}\right.$，
解得m∈∅或$\frac{1}{e}$＜m≤$\frac{1}{e}$+$\frac{6}{{e}^{4}}$．
则有所求m的取值范围是（$\frac{1}{e}$，$\frac{1}{e}$+$\frac{6}{{e}^{4}}$]．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查任意和存在性问题注意转化为求函数的值域问题，考查运算能力，属于中档题．