Question

8．在平行四边形ABCD中，E，G分别是BC，DC上的点且$\overrightarrow{BC}$=3$\overrightarrow{BE}$，$\overrightarrow{CD}$=3$\overrightarrow{CG}$，DE与BG交于点O．
（1）求|$\overrightarrow{OE}$|：|$\overrightarrow{DE}$|；
（2）若平行四边形ABCD的面积为21，求△BOC的面积．

Answer 1

分析 （1）由D、O、E共线，故有$\overrightarrow{OE}$=λ$\overrightarrow{DE}$=λ（$\overrightarrow{AB}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AD}$）．再由 B、O、G共线，求得 $\overrightarrow{OE}$=$\frac{1-m}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{3m-2}{3}$$\overrightarrow{AD}$，再利用平面向量基本定理求得λ 的值，即可得到结论．
（2）由（1）可得$\frac{{h}_{△BOC}}{{h}_{△BDC}}$=$\frac{1}{7}$，可得$\frac{{S}_{△BOC}}{{S}_{△BDC}}$=$\frac{1}{7}$，再根据S_△BOC=$\frac{1}{7}$S_△BDC，计算求得结果．

解答 解：（1）由于D、O、E共线，故有$\overrightarrow{OE}$=λ$\overrightarrow{DE}$=λ（$\overrightarrow{AB}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AD}$）．
∵B、O、G共线，∴$\overrightarrow{EO}$=m$\overrightarrow{EB}$+（1-m）$\overrightarrow{EG}$=m（-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AD}$）+（1-m）（$\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{CG}$）
=-$\frac{1}{3}$m$\overrightarrow{AD}$+（1-m）（$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AD}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$）=$\frac{m-1}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2-3m}{3}$$\overrightarrow{AD}$，
∴$\overrightarrow{OE}$=$\frac{1-m}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{3m-2}{3}$$\overrightarrow{AD}$，
∴λ（$\overrightarrow{AB}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AD}$）=$\frac{1-m}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{3m-2}{3}$$\overrightarrow{AD}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{λ=\frac{1-m}{3}}\\{-\frac{2λ}{3}=\frac{3m-2}{3}}\end{array}\right.$，求得λ=$\frac{1}{7}$，
可得|$\overrightarrow{OE}$|：|$\overrightarrow{DE}$|=$\frac{1}{7}$．
由（1）可得△BOC 与△BDC的高之比$\frac{{h}_{△BOC}}{{h}_{△BDC}}$=$\frac{1}{7}$，∴△BOC 与△BDC的面积之比为$\frac{{S}_{△BOC}}{{S}_{△BDC}}$=$\frac{1}{7}$，
∴S_△BOC=$\frac{1}{7}$S_△BDC=$\frac{1}{7}$•$\frac{21}{2}$=$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查平面向量基本定理，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于中档题．