Question

15．命题p：函数y=x+$\frac{2}{x}$在[1，4]上的值域为[3，$\frac{9}{2}$]，命题q：${log}_{\frac{1}{2}}$（a+1）＞${log}_{\frac{1}{2}}$a（a＞0），下列命题中，真命题的是（　　）

• A． p∧q
• B． p∨q
• C． p∧（￢q）
• D． p∨（￢q）

Answer 1

分析 对于命题p，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出；对于命题q：利用对数函数的单调性即可判断出真假．

解答 解：命题p：函数f（x）=x+$\frac{2}{x}$，f′（x）=1-$\frac{2}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-2}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+\sqrt{2}）（x-\sqrt{2}）}{{x}^{2}}$，当x∈$[1，\sqrt{2}）$时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；当x∈$（\sqrt{2}，4]$时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．∴当x=$\sqrt{2}$时，函数f（x）取得极小值即最小值，f$（\sqrt{2}）$=$2\sqrt{2}$；而f（1）=3，f（4）=4+$\frac{1}{2}$=$\frac{9}{2}$．∴函数f（x）在[1，4]上的值域为[2$\sqrt{2}$，$\frac{9}{2}$]，因此是假命题．
命题q：∵a+1＞a，∴${log}_{\frac{1}{2}}$（a+1）＜${log}_{\frac{1}{2}}$a（a＞0），因此是假命题．
由上面可知：p是假命题，q是假命题，￢q是真命题．
∴P∨￢q是真命题，
故选：D．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、对数函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．