Question

1．设关于x、y的不等式组$\left\{\begin{array}{l}{3x-4≥0}\\{（y-1）（3x+y-6）≤0}\end{array}\right.$表示的平面区域为D，已知点O（0，0）、A（1，0），点M是D上的动点，$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OM}$=λ|$\overrightarrow{OM}$|，则λ的取值范围是（$\frac{\sqrt{10}}{10}$，1]．

Answer 1

分析 先画出不等式组所表示的平面区域D，而由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OM}=λ|\overrightarrow{OM}|$便可得到，λ=cos∠MOA，所以求cos∠MOA的取值范围即可，通过图形找出∠MOA的变化过程，从而便可求得cos∠MOA的变化范围．

解答 解：由不等式组 $\left\{\begin{array}{l}{3x-4≥0}\\{（y-1）（3x+y-6）≤0}\end{array}\right.$得：
$\left\{\begin{array}{l}{x≥\frac{4}{3}}\\{y≥1}\\{y≤-3x+6}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x≥\frac{4}{3}}\\{y≤1}\\{y≥-3x+6}\end{array}\right.$；
∴平面区域D如下图阴影部分所示：

由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OM}=λ|\overrightarrow{OM}|$得，λ=cos∠MOA；
如图所示，若设直线x=$\frac{4}{3}$和y=-3x+6的交点为B，则B点坐标为（$\frac{4}{3}$，2），所以|OB|=$\frac{2\sqrt{13}}{3}$，
当M点从B点开始向x轴靠近的过程中，∠MOA不断减小，并减小到0，当∠MOA=0°时对应的λ的值达到最大值，
而当M从x轴并在阴影部分远离x轴时，∠MOA又逐渐增大，可知∠MOA的最大值（极限值）一定在直线y=-3x+6上取得，比较此极限值和M在B点对应的λ值即可求出λ的最小值；
当M点在B点时，cos∠MOA=$\frac{\frac{4}{3}}{\frac{2\sqrt{13}}{3}}$=$\frac{2\sqrt{13}}{13}$；
当M点在第四象限且在直线上时，设M（x，-3x+6），则cos∠MOA=$\frac{x}{{x}^{2}+（-3x+6）^{2}}$，
当x趋近于正无穷时，cos∠MOA=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∵$\frac{2\sqrt{13}}{13}$＞$\frac{\sqrt{10}}{10}$；
∴λ的取值范围是（$\frac{\sqrt{10}}{10}$，1]．
故答案为：（$\frac{\sqrt{10}}{10}$，1]．

点评 考查不等式组表示平面区域的概念，能根据不等式组找出不等式组所表示的平面区域，数量积的计算公式，以及余弦函数的单调性，向量夹角的定义，数形结合解题的方法．