Question

13．对于不等式$\frac{{x}^{2}+1+c}{\sqrt{{x}^{2}+c}}$≥$\frac{1+c}{\sqrt{c}}$，x∈R．
（1）经验证c=1，2，3时，不等式都成立，试问，不等式是否对任意的正数c都成立？说明理由．
（2）对已知的正数c，发现不等式右边$\frac{1+c}{\sqrt{c}}$改成某些值，如-c，0，不等式都成立，试求出所有这样值的集合．

Answer 1

分析 （1）解决这类不等式的常用方法就是变量代换，令$\sqrt{{x}^{2}+c}$=t，则t≥$\sqrt{c}$，用分析法可得要使不等式，只需要x²≥$\frac{1}{c}$-c，故当$\frac{1}{c}$＞c 时，原不等式不是对一切实数x都成立，当$\frac{1}{c}$-c≤0时，原不等式对一切实数x都能成立；
（2）利用基本不等式或函数的单调性来解决，即可求出所有这样值的集合．

解答 解：令$\sqrt{{x}^{2}+c}$=t（t≥$\sqrt{c}$），则f（x）=$\frac{{t}^{2}+1}{t}$-$\frac{1+c}{\sqrt{c}}$=$\frac{（t\sqrt{c}-1）（t-\sqrt{c}）}{t\sqrt{c}}$①
若不等式成立，即①式≥0，则需t$\sqrt{c}$-1≥0，∴x²+c≥$\frac{1}{c}$，∴x²≥$\frac{1}{c}$-c．
 故当$\frac{1}{c}$＞c 时，即 0＜c＜1原不等式不是对一切实数x都成立，即原不等式对一切实数x不都成立．
要使原不等式对一切实数x都成立，即使x²≥$\frac{1}{c}$-c对一切实数都成立．
∵x²≥0，故应有$\frac{1}{c}$-c≤0．
再由c＞0 可得，当c≥1时，原不等式对一切实数x都能成立；
（2）当0＜c≤1时，f（t）=t+$\frac{1}{t}$≥2，当t=1，即x=$\sqrt{1-c}$时取等号，所以[f（x）]_min=2，故M={m|m≤2}．
当c＞1时，t$≥\sqrt{c}$，t$\sqrt{c}$-1＞0．
由①知，f（x）-$\frac{1+c}{\sqrt{c}}$≥0，当t=$\sqrt{c}$时取等号，所以[f（x）]_min=$\frac{1+c}{\sqrt{c}}$，故M=（-∞，$\frac{1+c}{\sqrt{c}}$]．
综上所述，当0＜c≤1时，M=（-∞，2]；当c＞1时，M=（-∞，$\frac{1+c}{\sqrt{c}}$]．

点评 本题主要考查函数的恒成立问题，用分析法证明不等式，体现了转化的数学思想，属于中档题．