Question

7．如图所示，ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，M、N分别是PC、AB中点，则MN与平面PCD所成角的大小为（　　）

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 90°

Answer 1

分析 根据题意，设$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{c}$，由{$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$}组成空间向量的一个基底，
由非零空间向量的数量积为零，得出线线垂直的关系，从而得出线面垂直．．

解答 解：设$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{c}$，
则{$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$}构成空间向量的一个基底；∴$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{AN}$-$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$-$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$）=-$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$），
又$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{PD}$=$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$，PA⊥矩形ABCD，
∴PA⊥AB，PA⊥AD，且AB⊥AD，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$=0，$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$=0；
∴$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{DC}$=-$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$）•$\overrightarrow{b}$=-$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{b}$）=0，
$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{PD}$=-$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$）=-$\frac{1}{2}$（${\overrightarrow{c}}^{2}$-${\overrightarrow{a}}^{2}$）=-$\frac{1}{2}$（|$\overrightarrow{AD}$|²-|$\overrightarrow{AP}$|²）=0，
∴MN⊥DC，MN⊥PD；
又DC∩PD=D，
∴MN⊥平面PCD；
∴MN与平面PCD所成角的大小为90°．
故选：D．

点评 本题考查了空间向量的应用问题，也考查了空间中的垂直与平行关系的应用问题，是综合性题目．