Question

9．已知x=2是函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-bx²+2x+a的一个极值点．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若当x∈[1，+∞）时，f（x）-$\frac{2}{3}$＞a²恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求导函数，然后根据x=2是f（x）的一个极值点建立等式关系，求出b，然后解不等式f′（x）＞0即可求出函数的单调增区间，f′（x）＜0，即可得到单调减区间；
（2）先利用导数求出函数f（x）在区间[1，+∞）上的最小值，若当x∈[1，+∞）时，要使f（x）-a²＞$\frac{2}{3}$恒成立，只需f（x）_min＞a²+$\frac{2}{3}$，即可求出a的范围．

解答 解：（1）f′（x）=x²-2bx+2，
∵x=2是f（x）的一个极值点，
∴x=2是方程x²-2bx+2=0的一个根，解得b=$\frac{3}{2}$，
令f′（x）＞0，则x²-3x+2＞0，解得x＜1或x＞2，
令f′（x）＜0，则x²-3x+2＜0，解得1＜x＜2．
∴函数y=f（x）的单调递增区间为（-∞，1），（2，+∞），
单调减区间为（1，2）．
（2）∵当x∈（1，2）时f′（x）＜0，x∈（2，+∞）时f′（x）＞0，
∴f（x）在（1，2）上单调递减，f（x）在（2，+∞）上单调递增．
∴f（2）是f（x）在区间[1，+∞）上的最小值，且 f（2）=$\frac{2}{3}$+a．
若当x∈[1，+∞）时，要使f（x）-$\frac{2}{3}$＞a²恒成立，只需f（2）＞a²+$\frac{2}{3}$，
即$\frac{2}{3}$+a＞a²+$\frac{2}{3}$，
解得 0＜a＜1．
即有a的取值范围是（0，1）．

点评 本题主要考查了函数的极值，单调性和在闭区间上的最值，同时考查了恒成立问题，属于中档题．