Question

12．若函数f（x）=$\frac{e{\;}^{x}}{x{e}^{x}+1}$．
（1）讨论函数f（x）=$\frac{e{\;}^{x}}{x{e}^{x}+1}$的单调性，并求其最大值；
（2）对于?x∈（0，+∞），不等式$\frac{1}{f（x）}$＜ax²+1恒成立，求实数a的范围．

Answer 1

分析 （1）利用导数性质判断单调性，并求其最大值．（2）由a=0，a＜0，a＞0三种情况进行分类讨论，结合导数性质能求出a的取值范围．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{{e}^{x}（x{e}^{x}+1）-{e}^{x}（{e}^{x}+x{e}^{x}）}{（x{e}^{x}+1）^{2}}$=$\frac{{e}^{x}（1-{e}^{x}）}{（x{e}^{x}+1）^{2}}$
由f′（x）＞0，得1-e^x＞0，解得x＜0，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0，得1-e^x＜0，解得x＞0，此时函数单调递减，
即当x=0时，函数取得极大值，同时也是最大值f（0）=1，
∴函数f（x）的增区间（-∞，0]，减区间[0，+∞），最大值1．
（2）当a=0时，$\frac{1}{f（x）}=x+\frac{1}{{e}^{x}}＞1$，不等式不成立；
当a＜0时，ax²+1＜1，$\frac{1}{f（x）}＞1$，不等式不成立；
当a＞0时，$\frac{1}{f（x）}=x+\frac{1}{{e}^{x}}＜a{x}^{2}+1$，等价于（ax²-x+1）e^x-1＞0，
设h（x）=（ax²-x+1）e^x-1，h′（x）=x（ax+2a-1）e^x，
若$a≥\frac{1}{2}$，则当x∈（0，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，h（x）＞h（0）=0
$0＜a＜\frac{1}{2}时$，$x∈（0，\frac{1-2a}{a}）时$，h′（x）＜0，h（x）单调递减，h（x）＜h（0）=0，不合题意．
综上，a的取值范围是$[\frac{1}{2}，+∞）$．

点评 本题考查的是利用导数判定函数的单调性、求最值以及不等式恒成立问题，解题时注意等价转化、分类讨论的应用．