Question

19．如图所示，四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=2，点E为AB边上异于A，B两点的动点，点F在CD边上，且EF∥AD，沿EF将面EBCF折起，使得CF⊥AE．

（1）若AE=1，则在线段CF上是否存在一点G，使得DG∥平面ABC，若存在，求此时线段CG的长度；若不存在，请说明理由．
（2）当三棱锥F-ABE的体积最大时，求平面ABC与平面AEFD所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）当AE=1，则在线段CF上存在一点G，使得DG∥平面ABC，此时线段CG=2．取CG=2，连接CG，GB．由四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，EF∥AD，可得四边形AEFD是矩形．同理ABGD是矩形．可得：四边形ABGD是平行四边形，于是：DG∥AB．利用线面平行的判定定理即可证明：DG∥平面ABC．
（2）由EF⊥AB，可得EF⊥平面ABE．设AE=x，则V_F-ABE=$\frac{1}{3}EF•{S}_{△ABE}$=$\frac{1}{3}×2x（2-x）$，利用基本不等式的性质可得：当且仅当AE=x=1时取等号，即三棱锥F-ABE的体积取得最大值．由于沿EF将面EBCF折起，使得CF⊥AE，而AE∥FD，可得CF⊥FD，CF⊥平面AEFD，进而得到BE⊥平面AEFD．延长CB、FE相交于点M，连接AM，过E点作EN⊥AM，垂足为点N，连接BN．则∠BNE是平面ABC与平面AEFD所成锐二面角．利用平行线分线段成比例性质与直角三角形的边角关系即可得出．

解答 解：（1）当AE=1，则在线段CF上存在一点G，使得DG∥平面ABC，此时线段CG=2．
下面给出证明：取CG=2，连接CG，GB．
∵四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，∴AB∥CD．
∵EF∥AD，∴四边形AEFD是矩形．
同理ABGD是矩形．
∴BG∥EF∥AD，BG=EF=AD，
∴四边形ABGD是平行四边形，
∴DG∥AB．
又DG?平面ABC，AB?平面ABC．
∴DG∥平面ABC．
（2）∵EF⊥AB，∴EF⊥平面ABE．
设AE=x，则V_F-ABE=$\frac{1}{3}EF•{S}_{△ABE}$=$\frac{1}{3}×2x（2-x）$$≤\frac{2}{3}×（\frac{x+2-x}{2}）^{2}$=$\frac{2}{3}$，当且仅当AE=x=1时取等号，即三棱锥F-ABE的体积取得最大值．
∵沿EF将面EBCF折起，使得CF⊥AE，而AE∥FD，
∴CF⊥FD，
又CF⊥FE，FE∩FD=F，∴CF⊥平面AEFD．
∵BE∥CF，∴BE⊥平面AEFD．
延长CB、FE相交于点M，连接AM，过E点作EN⊥AM，垂足为点N，连接BN．
则∠BNE是平面ABC与平面AEFD所成锐二面角．
∵BE∥CF，∴$\frac{ME}{MF}=\frac{BE}{CF}=\frac{1}{3}$，∴$\frac{ME}{EF}=\frac{1}{2}$，EF=2，∴BM=1．
在Rt△MEA中，EM=EA=1，∴EN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
在Rt△BEN中，cos∠ENB=$\frac{EN}{BN}$=$\frac{EN}{\sqrt{E{N}^{2}+B{E}^{2}}}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了线面面面垂直与平行的判定与性质定理、平行四边形与矩形的性质、二面角的平面角、平行线分线段成比例性质与直角三角形的边角关系，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．