Question

11．在平面直角坐标系xOy中，过点P（-5，a）作圆x²+y²-2ax+2y-1=0的两条切线，切点分别为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），且$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}-2}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=0，则实数a的值为3或-2．

Answer 1

分析 两者的和实质上是一个斜率与另一个斜率的倒数和，进而可得两斜率乘积为-1，可得P，Q，R，T共线，即可求出实数a的值．

解答 解：设MN中点为Q（x₀，y₀），T（1，0），圆心R（a，-1），
根据对称性，MN⊥PR，
$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}-2}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{2{x}_{0}-2}{2{y}_{0}}$=$\frac{{x}_{0}-1}{{y}_{0}}$=$\frac{1}{{k}_{TQ}}$，
∵k_MN=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}-2}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=0
∴k_MN•k_TQ=-1，
∴MN⊥TQ，
∴P，Q，R，T共线，
∴k_PT=k_RT，
即$\frac{a}{-6}=\frac{1}{1-a}$，
∴a²-a-6=0，
∴a=3或-2．
故答案为：3或-2．

点评 本题考查实数a的值，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．