Question

13．长方形ABCD中，AB=2$\sqrt{3}$，BC=2，沿对角线AC将△DAC折起，使D点到P点的位置，且二面角P-AC-B为直二面角．

（1）求PB的长；
（2）求三棱锥P-ABC外接球的表面积．

Answer 1

分析 （1）过P作PE⊥AC，过B作BF⊥AC，取AC中点G，连结PG、BG，通过已知条件及勾股定理可得PF=$\sqrt{7}$，利用二面角P-AC-B为直二面角及勾股定理可得结论；
（2）通过翻折的性质及（1）知三棱锥P-ABC外接球的球心为G、半径r=2，利用球的表面积公式计算即可．

解答 解：（1）过P作PE⊥AC，过B作BF⊥AC，取AC中点G，连结PG、BG，
∵AB=2$\sqrt{3}$，BC=2，四边形ABCD为长方形，
∴CG=BG=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=2，
∴△BCG为等边三角形，
∴PE=BF=$\sqrt{B{C}^{2}-（\frac{1}{2}CG）^{2}}$=$\sqrt{3}$，EF=$\frac{1}{2}$AC=2，
∴PF=$\sqrt{P{E}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∵二面角P-AC-B为直二面角，
∴PE⊥BF，
∴BF⊥平面PEF，∴BF⊥PF，
∴PB=$\sqrt{B{F}^{2}+P{F}^{2}}$=$\sqrt{10}$；
（2）由于长方形ABCD中沿对角线AC将△DAC折起后，
PG、BG的长度任然不变，
由（1）知PG=BG=AG=CG=4，
∴三棱锥P-ABC外接球的球心为G，半径r=AG=2，
∴S_球=4π×2²=16π
即三棱锥P-ABC外接球的表面积为16π．

点评 本题考查线面垂直的判定定理，勾股定理，球的表面积公式，注意解题方法的积累，属于中档题．