Question

4．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的上顶点为P，左、右顶点分别为B、A，若$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=-2，且椭圆C的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若M，N为椭圆C上的两点，且直线PM与直线PN的斜率之积为$\frac{2}{3}$，求证：直线MN过定点，并求△PMN面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得P，A，B的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，结合椭圆的a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到a，b，进而得到椭圆方程；
（2）讨论直线MN的斜率不存在和存在，设出直线方程，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，和三角形的面积公式结合基本不等式，计算即可得到最大值．

解答 解：（1）由题意可得P（O，b），A（a，0），B（-a，0），
$\overrightarrow{PA}$=（a，-b），$\overrightarrow{PB}$=（-a，-b），
若$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=-2，则b²-a²=-2，即c²=2，即c=$\sqrt{2}$，
又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，解得a=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1；
（2）证明：①当直线MN的斜率不存在时，设MN：x=t（-$\sqrt{3}$＜t＜$\sqrt{3}$）．
不妨取M（t，$\sqrt{1-\frac{{t}^{2}}{3}}$），N（t，-$\sqrt{1-\frac{{t}^{2}}{3}}$），
∴k_PM•k_PN=$\frac{1}{3}$，不合题意．
②当直线MN的斜率存在时，
设MN的方程为y=kx+b，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
联立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=3}\end{array}\right.$ 得（1+3k²）x²+6kbx+3b²-3=0，
则△=12（3k²-b²+1）＞0，
∴x₁+x₂=$\frac{-6kb}{1+3{k}^{2}}$．x₁x₂=$\frac{3{b}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}$，
又k_PM•k_PN=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}}$=$\frac{{k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+k（b-1）（{x}_{1}+{x}_{2}）+（b-1）^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2}{3}$．
即（3k²-2）x₁x₂+3k（b-1）（x₁+x₂）+3（b-1）²=0
将x₁+x₂=$\frac{-6kb}{1+3{k}^{2}}$．x₁x₂=$\frac{3{b}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}$，代入上式得b²+2b-3=0，
解得b=-3或b=1（舍）
∴直线MN过定点（0，-3）；
∵|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=，点P到直线MN的距离为d=$\frac{4}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴S_△PMN=$\frac{1}{2}$|MN|•d=2|x₁-x₂|=2$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=4$\sqrt{3}$•$\frac{\sqrt{3{k}^{2}-8}}{1+3{k}^{2}}$，
由b=-3及△＞0知：3k²-8＞0，令$\sqrt{3{k}^{2}-8}$=t，即3k²=t²+8．
∴$\frac{\sqrt{3{k}^{2}-8}}{1+3{k}^{2}}$=$\frac{t}{{t}^{2}+9}$=$\frac{1}{t+\frac{9}{t}}$≤$\frac{1}{6}$，
当且仅当t=3时，S_△PMN取得最大值$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率，同时考查向量的数量积的坐标表示，以及韦达定理和弦长公式的运用和基本不等式的运用，属于中档题和易错题．