Question

15．在直角坐标系xOy中，已知圆C过点A（0，0）和B（0，4）且与直线x+y-4=0相切，椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1与圆C的一个焦点到椭圆两焦点的距离之和为10．
（1）求圆C的方程；
（2）试探究：圆C上是否存在异于原点的点Q，使得点Q到椭圆的右焦点F的距离等于线段OF的长？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设出圆C的方程，代入点和直线和圆的位置关系：相切的条件：d=r，列出方程组，解得即可得到圆C的方程；
（2）要探求是否存在异于原点的点Q，使得该点到右焦点F的距离等于|OF|的长度4，我们可以转化为探求以右焦点F为圆心，半径为4的圆（x─4）²+y²=16与（1）所求的圆的交点．

解答 解：（1）设圆C：（x-m）²+（y-n）²=r²，
则m²+n²=r²，m²+（4-n）²=r²，$\frac{|m+n-4|}{\sqrt{2}}$=r，
解得m=-2，n=2，r=2$\sqrt{2}$，
即有圆C的方程为（x+2）²+（y-2）²=8；
（2）由椭圆的定义可得2a=10，∴a²=25，
则椭圆的方程为 $\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，
其焦距c=$\sqrt{25-9}$=4，右焦点为（4，0），那么|OF|=4．
通过联立两圆的方程 $\left\{\begin{array}{l}{（x-4）^{2}+{y}^{2}=16}\\{（x+2）^{2}+（y-2）^{2}=8}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{4}{5}$，y=$\frac{12}{5}$．
即存在异于原点的点Q（$\frac{4}{5}$，$\frac{12}{5}$），
使得该点到右焦点F的距离等于|OF|的长．

点评 本题考查的是圆的位置关系和圆锥曲线的基本概念的理解．对于题中第二小问中，探求是否存在异于原点的点Q，使得该点到右焦点F的距离等于|OF|的长度4，转化为探求以右焦点F为顶点，半径为4的圆（x─4）²+y²=16与（1）所求的圆的交点．可使问题简化．