Question

6．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A，B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，且DC=EB=1，AB=4．
（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；
（2）当三棱锥C-ADE体积最大时，求二面角D-AE-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据面面垂直的判定定理即可证明平面ADE⊥平面ACD；
（2）根据三棱锥的体积公式，确定体积最大时的条件，建立空间坐标系，利用向量法即可得到结论．

解答 （1）证明：因为AB是直径，所以BC⊥AC，…1分，
因为CD⊥平面ABC，所以CD⊥BC                      …2分，
因为CD∩AC=C，所以BC⊥平面ACD                   …3分
因为CD∥BE，CD=BE，所以BCDE是平行四边形，BC∥DE，
所以DE⊥平面ACD，…4分，
因为DE?平面ADE，
所以平面ADE⊥平面ACD            …5分
（2）因为DC=EB=1，AB=4由（Ⅰ）知 ${V}_{C-ADE}={V}_{E-ACD}=\frac{1}{3}{S}_{△ACD}•DE$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}•AC•CD•DE$=$\frac{1}{6}•AC•BC≤\frac{1}{12}（A{C}^{2}+B{C}^{2}）$=$\frac{1}{12}•A{B}^{2}=\frac{4}{3}$，
，当且仅当AC=BC=2$\sqrt{2}$时等号成立                               …8分
如图所示，建立空间直角坐标系C-xyz，
则D（0，0，1），E（0，2$\sqrt{2}$，1），A（2$\sqrt{2}$，0，0），B（0，2$\sqrt{2}$，0），
则$\overrightarrow{AB}$=（-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{BE}$=（0，0，1），
$\overrightarrow{DE}$=（0，2$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{DA}$=（2$\sqrt{2}$，0，-1）…9分，
设面DAE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=2\sqrt{2}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DA}=2\sqrt{2}x-z=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{n}$=（1，0，2$\sqrt{2}$），
设面ABE的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=-2\sqrt{2}x+2\sqrt{2}y=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{m}$=（1，1，0），…12分，
则cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{1}{3×\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$，
结合图象可以判断二面角D-AE-B的余弦值为-$\frac{\sqrt{2}}{6}$，…13分

点评 本题主要考查空间面面垂直的判定依据空间二面角的求解，利用向量法是解决空间二面角的常用方法．