Question

17．在椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上有一点P，椭圆内一点Q在PF₂的延长线上，满足QF₁⊥QP，若sin∠F₁PQ=$\frac{5}{13}$，则该椭圆离心率取值范围是（　　）

• A． （$\frac{1}{5}$，1）
• B． （$\frac{\sqrt{26}}{26}$，1）
• C． （$\frac{1}{5}，\frac{\sqrt{2}}{2}$）
• D． （$\frac{\sqrt{26}}{26}，\frac{\sqrt{2}}{2}$）

Answer 1

分析 当满足QF₁⊥QP，由点P在y轴上时，∠F₁PQ=2α，sin2α=$\frac{5}{13}$．sinα=e，解得$e=\frac{\sqrt{26}}{26}$．当点Q在最下端时，∠F₁QF₂最大，此时F₁Q⊥F₂Q．可得点Q在椭圆的内部，当b=c时，e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即可得出．

解答 解：∵满足QF₁⊥QP，
∴点P在y轴上时，∠F₁PQ=2α，
sin2α=$\frac{5}{13}$．
sinα=e，cosα=$\sqrt{1-{e}^{2}}$，
∴2e$\sqrt{1-{e}^{2}}$=$\frac{5}{13}$，
解得$e=\frac{\sqrt{26}}{26}$．
当点Q在最下端时，∠F₁QF₂最大，此时F₁Q⊥F₂Q．
可得点Q在椭圆的内部，当b=c，e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，因此$e＜\frac{\sqrt{2}}{2}$．
综上可得：$\frac{\sqrt{26}}{26}＜e＜\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查了椭圆的性质、直角三角形的边角关系、三角函数的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．