Question

2．在Rt△ABC内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC上，设AB=a，∠ABC=θ，△ABC的面积为P，正方形面积为Q．求$\frac{P}{Q}$的最小值．

Answer 1

分析 根据已知条件容易求出Rt△ABC的面积P=$\frac{1}{2}{a}^{2}tanθ$，若设内接正方形的边长为x，结合图形即可得到$\frac{xcos}{a}=\frac{asinθ-x}{asinθ}$，从而可解出x=$\frac{asinθ}{1+sinθcosθ}$，从而得到正方形面积Q=$\frac{{a}^{2}si{n}^{2}θ}{（1+sinθcosθ）^{2}}$．从而得到$\frac{P}{Q}=1+\frac{sin2θ}{4}+\frac{1}{sin2θ}$，而根据函数y=1+$\frac{t}{4}+\frac{1}{t}$在（0，1]上单调递减即可求出$\frac{P}{Q}$的最小值．

解答 解：AC=atanθ，P=$\frac{1}{2}$AB•AC=$\frac{1}{2}$a²tanθ；
设正方形边长为x，AG=xcosθ，BC=$\frac{a}{cosθ}$，BC边上的高h=asinθ；
∵$\frac{xcosθ}{a}$=$\frac{asinθ-x}{asinθ}$，∴x=$\frac{asinθ}{1+sinθcosθ}$，∴Q=x²=$\frac{{a}^{2}si{n}^{2}θ}{（1+sinθcosθ）^{2}}$；
从而$\frac{P}{Q}$=$\frac{sinθ}{2cosθ}•\frac{（1+sinθcosθ）^{2}}{si{n}^{2}θ}$=$\frac{（2+sin2θ）^{2}}{4sin2θ}=1+\frac{sin2θ}{4}+\frac{1}{sin2θ}$；
令sin2θ=t，（0＜t＜1]，所以$\frac{P}{Q}$=1$+\frac{t}{4}+\frac{1}{t}$，设y=1$+\frac{t}{4}+\frac{1}{t}$，y′=$\frac{{t}^{2}-4}{4{t}^{2}}＜0$；
∴函数y=1+$\frac{1}{t}$+$\frac{t}{4}$在区间（0，1]上单调递减，从而，当sin 2θ=1时，（$\frac{P}{Q}$）_min=$\frac{9}{4}$；
即$\frac{P}{Q}$的最小值为$\frac{9}{4}$．

点评 考查直角三角形边角的关系，三角函数的定义，相似三角形对应边的比例关系，二倍角的正弦公式，以及根据函数导数判断函数单调性的方法，根据函数单调性求函数的最值，通过换元解决问题的方法．