Question

7．已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c（a，b为常数）的图象过原点，且有x=1的切线为y=-$\frac{1}{2}$．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）由题意可得f（0）=0，f（1）=-$\frac{1}{2}$，f′（1）=0，即可求得a，b，c，进而得到所求解析式；
（2）求出导数，令导数大于0，解不等式即可得到增区间．

解答 解：（1）函数f（x）=x³+ax²+bx+c（a，b为常数）的图象过原点，
可得f（0）=0，即有c=0，
又导数为f′（x）=3x²+2ax+b，
在x=1处的切线为y=-$\frac{1}{2}$，则f（1）=-$\frac{1}{2}$，f′（1）=0，
即为1+a+b=-$\frac{1}{2}$，3+2a+b=0，
解得a=-$\frac{3}{2}$，b=0，
即有f（x）=x³-$\frac{3}{2}$x²；
（2）f（x）=x³-$\frac{3}{2}$x²的导数为f′（x）=3x²-3x，
令导数f′（x）＞0，可得x＞1或x＜0．
则函数f（x）的单调增区间为（-∞，0），（1，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，主要考查导数的几何意义，同时考查二次不等式的解法，属于中档题．