Question

1．已知在数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，a_na_n+1a_n+2=a_n+a_n+1+a_n+2，且a_n+1a_n+2≠1，求{a_n}的前2005项和S₂₀₀₅．

Answer 1

分析 依题意可知，a_na_n+1a_n+2=a_n+a_n+1+a_n+2，a_n+1a_n+2a_n+3=a_n+1+a_n+2+a_n+3，两式相减得a_n+1a_n+2（a_n+3-a_n）=a_n+3-a_n，可得a_n+3=a_n，因此数列{a_n}是以3为周期的数列，即可得出．

解答 解：依题意可知，a_na_n+1a_n+2=a_n+a_n+1+a_n+2，a_n+1a_n+2a_n+3=a_n+1+a_n+2+a_n+3，
两式相减得a_n+1a_n+2（a_n+3-a_n）=a_n+3-a_n，
∵a_n+1a_n+2≠1，
∴a_n+3-a_n=0，即a_n+3=a_n，
∴数列{a_n}是以3为周期的数列，
∵a₁a₂a₃=a₁+a₂+a₃，∴a₃=3
∴S₂₀₀₅=668×（1+2+3）+a₁=4008+1=4009．

点评 本题考查了递推式的应用、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．