Question

8．过点A（-3，-4）作椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的切线l，求直线l的方程．

Answer 1

分析 设切线l的方程为：y+4=k（x+3），与椭圆方程联立化为（1+4k²）x²+（24k²-32k）x+36k²-96k+60=0，利用△=0解出k即可．

解答 解：由题意可知切线l的斜率存在，设切线l的方程为：y+4=k（x+3），
化为y=kx+3k-4，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+3k-4}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，
化为（1+4k²）x²+（24k²-32k）x+36k²-96k+60=0，
∵△=（24k²-32k）²-4（1+4k²）（36k²-96k+60）=0，
化为：5k²-24k+15=0，解得k=$\frac{12±\sqrt{69}}{5}$．
∴直线l的方程为$y+4=\frac{12±\sqrt{69}}{5}（x+3）$．

点评 本题考查了直线与椭圆相切转化为方程联立可得△=0，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．