Question

4．如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长均为4，E是BC的中点，点F在侧棱CC₁上，且CC₁=4CF
（Ⅰ）求证：EF⊥A₁C；
（Ⅱ）求点C到平面AEF的距离．

Answer 1

分析 （I）过E作EN⊥AC于N，连结EF、NF、AC₁，通过直棱柱的性质及相似三角形的性质、线面垂直的判定定理即得结论；
（II）设点C到平面AEF的距离为d，利用V_{三棱锥C-AEF}=V_{三棱锥F-AEC}计算即可．

解答 解：过E作EN⊥AC于N，连结EF．
（I）连结NF、AC₁，由直棱柱的性质知，
底面ABC⊥侧面A₁C，所以EN⊥侧面A₁C，
所以NF⊥A₁C，
在Rt△CNE中，CN=CEcos60°=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{1}{2}$=1，
又∵CC₁=4CF，∴$\frac{CN}{CA}=\frac{CF}{C{C}_{1}}$，
∴NF∥AC₁，
又AC₁⊥A₁C，故NF⊥AC₁，A₁C⊥平面NEF，
所以 EF⊥A₁C；
（II）设点C到平面AEF的距离为d，
则V_{三棱锥C-AEF}=V_{三棱锥F-AEC}，
即$\frac{1}{3}•$S_△AEF•d=$\frac{1}{3}•$S_△AEC•CF，
所以d=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．

点评 本题考查线面垂直的判定，线线垂直的判定，考查棱锥的体积公式，从不同角度利用棱锥的体积公式是解决本题的关键，属于中档题．