Question

12．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2
（1）求异面直线PC与BD所成角的大小；
（2）求点A到平面PBD的距离．

Answer 1

分析 （1）令AC与BD交点为O，PA的中点为E，连接OE，BE，则OE∥PC，则直线PC与BD所成角等于直线OE与BD所成角，解三角形OEB，即可得到答案．
（2）过A作AH⊥OE，垂足为H，则AH⊥平面PBD，求出AH，即可求点A到平面PBD的距离．

解答 解：（1）令AC与BD交点为O，PA的中点为E，连接OE，BE如图所示：
∵O为BD的中点，则EO=$\frac{1}{2}$PC=$\sqrt{3}$，且OE∥PC，
又∵PA⊥面ABCD，且PA=AD=2，AB=2，BD=2$\sqrt{2}$．
∴OB=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{2}$，BE=$\sqrt{5}$，
∴|cos∠EOB|=|$\frac{3+2-5}{2•\sqrt{3}•\sqrt{2}}$|=0，
即异面直线PC与BD所成角为90°；
（2）过A作AH⊥OE，垂足为H，则AH⊥平面PBD．
在直角三角形AOE中，AE=1，OA=$\sqrt{2}$，OE=$\sqrt{3}$，
由等面积可得AH=$\frac{1•\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查异面直线及其所成的角，点A到平面PBD的距离，将空间问题转化为一个平面解三角形的问题是解题的关键．