Question

7．已知抛物线y²=2px，过点m（1，0），且斜率为1的直线l与抛物线交于不同的两点A、B，若|AB|=4，求p的值．

Answer 1

分析 用点斜式求得直线AB的方程，再把它代入抛物线方程，利用韦达定理以及|AB|=$\sqrt{{1+k}^{2}}$•|x₁+x₂ |=4，从而求得p的值．

解答 解：由题意可得直线AB的方程为y-0=1•（x-1），即x-y-1=0．
把AB的方程代入抛物线y²=2px，可得x²-（2+2p）x+1=0，
∴x₁+x₂=2+2p，x₁•x₂=1，
∴|AB|=$\sqrt{{1+k}^{2}}$•|x₁-x₂|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}-{4x}_{1}{•x}_{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{{（2+2p）}^{2}-4}$=2$\sqrt{2}$•$\sqrt{{p}^{2}+2p}$=4．
∴p=$\sqrt{3}$-1．

点评 本题主要考查抛物线的定义和标准方程，韦达定理的应用，属于中档题．