Question

15．已知平面OAB、OBC、OAC相交于一点O，∠AOB-∠BOC=∠COA=60°，求直线OA与平面OBC所成的角．

Answer 1

分析 在直线OA，OB，OC上分别取点D，E，F并使得OD=OE=OF=2，这样即可得到正四面体O-DEF，从而求OD和平面OEF所成角即可：取EF中点G，并连接DG，OG，能够说明∠DOG便为直线OD和平面OEF所成角，根据余弦定理求出该角即可．

解答 解：如图，分别在直线OA，OB，OC上取D，E，F，使OD=OE=OF=2，并连接DE，EF，FD，则根据已知条件：△ODE，△OEF，△ODF都为等边三角形；
取EF中点G，连接DG，OG则，DG⊥EF，OG⊥EF，DG∩OG=G；
∴EF⊥平面DOG；
作DH⊥OG，垂足为H，则：EF⊥DH；
即DH⊥OG，DH⊥EF，OG∩EF=G；
∴DH⊥平面OEF，即DH⊥平面OBC；
∴∠DOH便为OA和平面OBC所成角；
能够求出$DG=OG=\sqrt{3}$；
∴在△DOG中，由余弦定理得：cos∠DOG=$\frac{O{D}^{2}+O{G}^{2}-D{G}^{2}}{2OD•OG}=\frac{4}{4\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
∴直线OA与平面OBC所成的角为arccos$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 考查等边三角形的定义，等边三角形的中线也是高线，线面垂直的判定定理，线面垂直的性质，以及线面角的定义，余弦定理．