已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率为$\frac{1}{2}$.椭圆的短轴端点与双曲线$\frac{{y}^{2}}{2}$-x2=1的焦点重合．(1)求椭圆C的方程,(2)设P(x0.y0)(x0y0≠0)为椭圆C上一点.过点P作x轴的垂线.垂足为Q.取点B(0.2).连结BQ.过点B作BQ的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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10．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，椭圆的短轴端点与双曲线$\frac{{y}^{2}}{2}$-x²=1的焦点重合．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P（x₀，y₀）（x₀y₀≠0）为椭圆C上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，取点B（0，2），连结BQ，过点B作BQ的垂线交x轴于点D，点E是点D关于y轴的对称点，试判断直线PE与椭圆C的位置关系，并证明你的结论．

分析（1）由椭圆的离心率公式和双曲线的焦点坐标，可得椭圆的b，再由a，b，c的关系，解得a，进而得到椭圆方程；
（2）设D（d，0），求得向量BD，BQ的坐标，由垂直的条件可得d，求出直线PE的斜率和方程，代入椭圆方程，运用判别式，即可判断它们的位置关系．

解答解：（1）由题意可得e=$\frac{1}{2}$，即$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
又双曲线$\frac{{y}^{2}}{2}$-x²=1的焦点为（0，$±\sqrt{3}$），
即有b=$\sqrt{3}$，a²-c²=3，
解得a=2，
则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）由题意知点Q点坐标为（x₀，0），
设D（d，0），则$\overrightarrow{BD}$=（d，-2），$\overrightarrow{BQ}$=（x₀，-2），
由BD⊥BQ，得$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{BQ}$=0，∴dx₀+4=0，∴d=-$\frac{4}{{x}_{0}}$．
由点E是点D关于y轴的对称点，得点E（$\frac{4}{{x}_{0}}$，0）．
直线PE的斜率为$\frac{{x}_{0}{y}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}-4}$，
因点P在椭圆C上，故3x₀²+4y₀²=12．
于是直线PE的斜率为-$\frac{3{x}_{0}}{4{y}_{0}}$，其方程为y=-$\frac{3{x}_{0}}{4{y}_{0}}$（x-$\frac{4}{{x}_{0}}$）．
代入椭圆方程，利用3x₀²+4y₀²=12，
化简得x²-2x₀x+x₀²=0．
因△=4x₀²-4x₀²=0，故方程组有两组相同的实数解，
所以直线PE与椭圆C相切．

点评本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程判断直线和椭圆的位置关系，注意运用点在曲线上，点满足方程，同时考查直线的斜率和直线方程，属于中档题．

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