Question

5．设f（x）=x³-3x，若函数g（x）=f（x）+f（t-x）有零点，则实数t的取值范围是（　　）

• A． $（-2\sqrt{3}，-2\sqrt{3}）$
• B． $（-\sqrt{3}，\sqrt{3}）$
• C． $[-2\sqrt{3}，2\sqrt{3}]$
• D． $[-\sqrt{3}，\sqrt{3}]$

Answer 1

分析 将g（x）表示出来且化简，然后令g（x）=0，把问题转化为一元二次方程的根的存在性问题，利用判别式即可解决问题．

解答 解：由题意g（x）=x³-3x+（t-x）³-3（t-x）=3tx²-3t²x+t³-3t．
当t=0时，显然g（x）=0恒成立．
当t≠0时，只需△=（-3t²）²-4×3t×（t³-3t）≥0
化简得t²≤12，即$-2\sqrt{3}≤t≤2\sqrt{3}，t≠0$．
综上可知t的取值范围[-$2\sqrt{3}，2\sqrt{3}$]．
故选：C．

点评 本题考查了零点的概念，一元二次方程根的判断方法．属于基础题．