Question

16．交通指数是拥堵的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记为T．其范围为[0，10]，分别有五个级别：T∈[0，2）畅通；T∈[2，4）基本畅通；T∈[4，6）轻度拥堵；T[6，8）中度拥堵；T∈[8，10）严重拥堵．在晚高峰时段（T≥2），从某市指挥中心选取了市区20个路段，依据其数据绘制的频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）在这20个路段中，随机选取了两个路段，求这两个路段至少有一个未出现严重拥堵的概率；
（Ⅱ）从这20个路段中随机抽取3个路段，用X表示抽取的中度拥堵的路段的个数，求X的分布列及期望．

Answer 1

分析 （1）由频率分布直方图可知底×高=频率，频率×20为路段个数，求得严重拥堵的路段个数，运用古典概率计算即可得到；
（2）由题意知X为0，1，2，3，求出相应的概率，由此求出X的分布列及期望

解答 解：（Ⅰ）设事件A“一个路段严重拥堵”，则P（A）=0.10+0.05=0.15，
则20个路段中出现严重拥堵的路段有0.15×20=3，概率计算
记事件B“这两个路段至少有一个未出现严重拥堵”，
则P（$\overline{B}$）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{3}{190}$，
即有P（B）=1-P（$\overline{B}$）=1-$\frac{3}{190}$=$\frac{187}{190}$；
这两个路段至少有一个未出现严重拥堵的概率为$\frac{187}{190}$；
（2）X的可能取值为0，1，2，3．
P（X=0）=$\frac{{C}_{11}^{3}{•C}_{9}^{0}}{{C}_{20}^{3}}$=$\frac{11}{76}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{11}^{2}{•C}_{9}^{1}}{{C}_{20}^{3}}$=$\frac{33}{76}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{11}^{1}{•C}_{9}^{2}}{{C}_{20}^{3}}$=$\frac{33}{95}$，P（X=3）=$\frac{{C}_{11}^{0}{•C}_{9}^{3}}{{C}_{20}^{3}}$=$\frac{7}{95}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{11}{76}$	$\frac{33}{76}$	$\frac{33}{95}$	$\frac{7}{95}$

∴EX=0×$\frac{11}{76}$+1×$\frac{33}{76}$+2×$\frac{33}{95}$+3×$\frac{7}{95}$=$\frac{513}{380}$．

点评 本题以实际问题为素材，考查离散型随机变量的概率及期望，关键是正确运用公式．属于中档题．