Question

13．若变量x，y满足$\left\{{\begin{array}{l}{2x-y≤0}\\{x-2y+3≥0}\\{x≥0}\end{array}}$，则2^x+y的最大值为8，$\frac{y+1}{x-2}$的取值范围$[-3，-\frac{1}{2}]$．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合即可得到结论．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图，
设z=x+y，
由z=x+y得y=-x+z，平移直线y=-x+z，
由图象可知当直线y=-x+z经过点A时，
直线y=-x+z的截距最大，此时z最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y=0}\\{x-2y+3=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，即A（1，2），
代入目标函数z=x+y=1+2=3．
此时2^x+y的最大值为2³=8．
设k=$\frac{y+1}{x-2}$，
则k的几何意义为区域内的点到定点D（2，-1）的斜率，
由图象知，AD的斜率最小为k=$\frac{2+1}{1-2}$=-3，
OD的斜率最大为k=$\frac{1}{-2}$=$-\frac{1}{2}$，
故-3$≤k≤-\frac{1}{2}$，
故答案为：8，$[-3，-\frac{1}{2}]$．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．