Question

18．已知a＞0 b＞0．a、b的等差中项是$\frac{1}{2}$，且x=a+$\frac{1}{a}$，y=b+$\frac{1}{b}$，则xy的最小值是$\frac{25}{4}$．

Answer 1

分析 a、b的等差中项是$\frac{1}{2}$，可得a+b=1．又a＞0 b＞0，设a=cos²θ，b=sin²θ，$θ∈（0，\frac{π}{2}）$．可得xy=$\frac{si{n}^{2}2θ}{4}$+$\frac{8}{si{n}^{2}2θ}$-2，令sin²2θ=t，可得sin2θ∈（0，1]，t∈（0，1]，xy=$\frac{t}{4}+\frac{8}{t}$-2=f（t），利用导数研究其单调性即可得出．

解答 解：∵a、b的等差中项是$\frac{1}{2}$，
∴a+b=1．
又a＞0 b＞0，
设a=cos²θ，b=sin²θ，$θ∈（0，\frac{π}{2}）$．
x=a+$\frac{1}{a}$，y=b+$\frac{1}{b}$，
则xy=$（co{s}^{2}θ+\frac{1}{co{s}^{2}θ}）（si{n}^{2}θ+\frac{1}{si{n}^{2}θ}）$
=$\frac{si{n}^{2}2θ}{4}$+$\frac{8}{si{n}^{2}2θ}$-2，
令sin²2θ=t，
∵$θ∈（0，\frac{π}{2}）$，∴（2θ∈（0，π）），
∴sin2θ∈（0，1]，∴t∈（0，1]．
∴xy=$\frac{t}{4}+\frac{8}{t}$-2=f（t），
∴f′（t）=$\frac{1}{4}-\frac{8}{{t}^{2}}$=$\frac{{t}^{2}-32}{4{t}^{2}}$＜0，
∴函数f（t）在t∈（0，1]上单调递减，
∴f（t）≥f（1）=$\frac{25}{4}$．当且仅当t=1即$θ=\frac{π}{4}$，即a=b=$\frac{1}{2}$时取等号．
故答案为：$\frac{25}{4}$．

点评 本题考查了三角函数换元法、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．