Question

10．已知函数f（x）=2$\sqrt{2}cosxcos（x+\frac{π}{4}）$．
（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）已知tanα=$\frac{1}{2}$，求f（-α）的值．

Answer 1

分析 利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式．
（Ⅰ）利用正弦函数的单调性，直接求解函数的单调减区间即可．
（Ⅱ）化简所求表达式为正切函数的形式，然后求解即可．

解答 （本题满分12分）
解：$f（x）=2\sqrt{2}cosxcos（x+\frac{π}{4}）$=$2\sqrt{2}cosx（cosxcos\frac{π}{4}-sinxsin\frac{π}{4}）$=2cos²x-2sinxcosx=cos2x-sin2x+1=$1-\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）$…（2分）
（Ⅰ）f（x）的单调递减区间即是$y=\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）$的单调递增区间，
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{π}{2}$（k∈Z）得：$kπ-\frac{π}{8}≤x≤kπ+\frac{3π}{8}$（k∈Z），
即$[kπ-\frac{π}{8}，kπ+\frac{3π}{8}]$（k∈Z）是f（x）的单调递减区间．…（6分）
（Ⅱ）∵$tanα=\frac{1}{2}$，
∴f（-α）=2cos²α+2sinαcosα=$\frac{{2{{cos}^2}α+2sinαcosα}}{{{{sin}^2}α+{{cos}^2}α}}$=$\frac{2+2tanα}{{1+{{tan}^2}α}}$=$\frac{3}{{1+\frac{1}{4}}}=\frac{12}{5}$…（12分）

点评 本题考查两角和与差的三角函数，三句话是的化简求值，考查计算能力．