Question

18．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）上的点（2，a）到焦点F的距离为3．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）设动直线l与抛物线C相切于点A，且与其准线相交于点B，问在坐标平面内是否存在定点D，使得以AB为直径的圆恒过定点D？若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据抛物线上的点到焦点F的距离求出p的值，即可确定出抛物线的方程；
（Ⅱ）设动直线l方程为x=ty+b，表示出B坐标，联立l与抛物线解析式，消去x得到关于y的方程，根据根的判别式等于0得出t与b的关系式，进而设出A与D的坐标，表示出向量$\overrightarrow{AD}$与向量$\overrightarrow{BD}$，根据圆周角定理得到两向量垂直，即数量积为0，列出关系式，确定出当m=1，n=0时，上式对任意x∈R恒成立，即可得出使得以AB为直径的圆恒过点D，以及此时D的坐标．

解答 解：（Ⅰ）由条件得到$\frac{p}{2}$=1，即p=2，
则抛物线的方程为y²=4x；
（Ⅱ）设动直线l方程为x=ty+b（t≠0），可得B（-1，$\frac{-1-b}{t}$），
联立得：$\left\{\begin{array}{l}{x=ty+b}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，
消去x得：y²=4（ty+b），
∴△=16t²+16b=0，即b=-t²，
设A（t²，2t），D（m，n），
∴$\overrightarrow{AD}$=（m-t²，n-2t），$\overrightarrow{BD}$=（m+1，n+$\frac{1+b}{t}$），
∵D在以AB为直径的圆上，∴$\overrightarrow{AD}$⊥$\overrightarrow{BD}$，
∴$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BD}$=0，即（m-t²）（m+1）+（n-2t）（n+$\frac{1+b}{t}$）=0，
整理得：（1-m）t²-3nt+$\frac{n}{t}$+（m²+m+n²-2）=0，
当且仅当m=1，n=0时，上式对任意x∈R恒成立，
则存在D（1，0），使得以AB为直径的圆恒过点D．

点评 此题考查了直线与圆锥曲线的关系，以及抛物线的标准方程，熟练掌握抛物线的简单性质是解本题第一问的关键．