Question

13．已知点A（1，0），点P是圆C：（x+1）²+y²=8上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线CP交于点E．
（1）求点E的轨迹方程；
（2）若直线y=kx+m与点E的轨迹有两个不同的交点P和Q，且原点O总在以PQ为直径的圆的内部，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件推出轨迹方程为椭圆，即可轨迹方程．
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则将直线与椭圆的方程联立，消去y，利用判别式以及韦达定理，通过数量积小于0，求出m、k的关系式，求出结果即可．

解答 解：（1）由题意知|EP|=|EA|，|CE|+|EP|=2$\sqrt{2}$，∴|CE|+|EA|=2$\sqrt{2}$＞2=|CA|，
∴E的轨迹是以C、A为焦点的椭圆，其轨迹方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$     …（4分）
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则将直线与椭圆的方程联立得：$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\{x}^{2}+2{y}^{2}=2\end{array}\right.$，
消去y，得：（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，△＞0，m²＜2k²+1…①
 x₁+x₂=$-\frac{4km}{2{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$   …（6分）
因为O在以PQ为直径的圆的内部，故$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}＜0$，即x₁x₂+y₁y₂＜0 …（7分）
而y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=$\frac{{m}^{2}-2{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，
由x₁x₂+y₁y₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}+\frac{{m}^{2}-2{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}＜0$  …（9分）
得：${m}^{2}＜\frac{2{k}^{2}+2}{3}$，∴${m}^{2}＜\frac{2}{3}$，且满足①式M的取值范围是$（-\frac{\sqrt{6}}{3}，\frac{\sqrt{6}}{3}）$．…（12分）

点评 本题考查轨迹方程的求法，椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．