Question

1．正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BB₁，D是BC的中点．
（1）求直线BB₁与平面AC₁D所成的余弦值；
（2）求二面角A₁-AC₁-D．

Answer 1

分析 （1）先证明平面ADBC₁⊥平面CBB₁C₁，过C作CE⊥C₁D，说明CC₁E是BB₁与平面AC₁D所成角，通过三角形相似解三角形从而可求BB₁与平面CDB₁所成角的余弦值．
（2）分别求出平面AC₁D的法向量和平面AC₁C的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角C-AC₁-D的余弦值，进而得到二面角A₁-AC₁-D的大小．

解答 （1）解：∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D点为棱BC的中点．
∴AD⊥平面CBB₁C₁，
∵AD?平面CDC₁．
∴平面ADBC₁⊥平面CBB₁C₁，
过C作CE⊥C₁D，∵平面ADC₁∩CBB₁C₁=C₁D
∴CE⊥平面ADC₁．
∴∠CC₁E是BB₁与平面AC₁D所成角
∵CC₁⊥BC
∴△CEC₁∽△DCC₁，
由CD=$\frac{1}{2}$BC=1，CC1=2
C₁D=$\sqrt{5}$
得cos∠CC1E=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
即直线BB₁与平面AC₁D所成的余弦值：$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
（2）取B₁C₁的中点D₁，以D点为坐标原点，以DD₁所在直线为z轴，
以DA所在直线为x轴，所在DC所在直线为y轴建立空间直角坐标系，AA₁=2，

则D（0，0，0），C（0，1，0），A（$\sqrt{3}$，0，0），M（0，-1，1），C₁（0，1，2），
设平面AC₁D的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=0\\ \overrightarrow{n}•\overrightarrow{{DC}_{1}}=0\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}-\sqrt{3}x=0\\ y+2z=0\end{array}\right.$，令z=1，则y=-2，
可求得$\overrightarrow{n}$=（0，-2，1），
设平面AC₁C的法向量为$\overrightarrow{m}$，
可求得$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{3}$，0），
cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{m}$＞=$\frac{\sqrt{15}}{5}$；
∴二面角C-AC₁-D的大小为：π-arccos$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面垂直的判定，其中解答本题的关键是建立空间坐标系，将线面平行问题和二面角问题转化为向量垂直及向量夹角问题．