Question

14．雾霾天气严重影响我们的生活，加强环境保护是今年两会关注的热点，我国的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在0-50为优秀，各类人群可正常活动．某市环保局对全市2014年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为（5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图．

（1）求a的值；
（2）根据样本数据，试估计这一年的空气质量指数的平均值；
（3）如果空气质量指数不超过15，就认定空气质量为“特优等级”，则从这一年的监测数据中随机抽取3天的数值，其中达到“特优等级”的天数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）由频率分布直方图可得样本数据在各组的频率，再由频率和为1求得a值；
（2）直接由每个矩形中点的横坐标乘以频率作和得答案；
（3）求出“特优等级”的天数ξ的值，利用二项分布求出概率，列出频率分布表，代入期望公式求期望．

解答 解：（1）由频率分布直方图可得，样本数据在（5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]的频率分别为：0.18，0.32，10a，0.20，
由0.18+0.32+10a+0.20=1，得：a=0.03；
（2）这一年的空气质量指数的平均值为：10×0.18+20×0.32+30×0.3+40×0.20=25.2；
（3）利用样本估计总体，该年度空气质量指数在（5，15]内为特优等级，
且指数达到“特优等级”的概率为0.18．
从这一年的监测数据中，随机抽取3天，其中达到“特优等级”的天数ξ的值分别为：0，1，2，3．
则P（ξ=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{41}{50}）^{3}$，P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{9}{50}）（\frac{41}{50}）^{2}$，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{9}{50}）^{2}（\frac{41}{50}）$，P（ξ=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{9}{50}）^{3}$，
则ξ：B（3，$\frac{9}{50}$），
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	${C}_{3}^{0}（\frac{41}{50}）^{3}$	${C}_{3}^{1}（\frac{9}{50}）（\frac{41}{50}）^{2}$	${C}_{3}^{2}（\frac{9}{50}）^{2}（\frac{41}{50}）$	${C}_{3}^{3}（\frac{9}{50}）^{3}$

Eξ=3×$\frac{9}{50}=\frac{27}{50}$．

点评 本题考查了频率分布直方图，考查了离散型随机变量的期望的应用，离散型随机变量的期望表征了随机变量取值的平均值，是中档题．