Question

15．“无字证明”（proofs　without　words）就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现，请利用下面两个三角形（△ACD和△ECD）的面积关系，写出高中数学中的一个重要关系式：$\sqrt{ab}≤\frac{1}{2}（a+b）$．

Answer 1

分析 由三角形相似把AB的长度用a，b表示，然后利用三角形ACD的面积小于等于三角形ECD的面积得到不等式$\sqrt{ab}≤\frac{1}{2}（a+b）$．

解答 解：由图可知：AB²=ab，则$AB=\sqrt{ab}$，
而$OE=\frac{1}{2}（a+b）$，
${S}_{△ACD}=\frac{1}{2}（a+b）•\sqrt{ab}$，${S}_{△ECD}=\frac{1}{2}（a+b）•\frac{1}{2}（a+b）$，
由S_△ACD≤S_△ECD，得$\sqrt{ab}≤\frac{1}{2}（a+b）$（当且仅当a=b时等号成立），
故答案为：$\sqrt{ab}≤\frac{1}{2}（a+b）$．

点评 本题考查了数形结合证明基本不等式，考查了学生的推理能力，是中档题．