Question

7．已知f（x）=lnx，g（x）=$\frac{（x-1）（1-λ+λx）}{x}$（其中λ为常数）．
（1）若设F（x）=lnx-ax，讨论F（x）单调性；
（2）求证：当λ≥$\frac{1}{2}$时，f（x）≤g（x）在[1，+∞）上恒成立；
（3）设数列{a_n}的通项公式为a_n=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$，证明a_2n-a_n+$\frac{1}{2n}$＞ln2．

Answer 1

分析 （1）先求导，再分类讨论，即可得到函数的单调性；
（2）构造函数h（x）=g（x）-h（x），当λ≥$\frac{1}{2}$时，利用导数求出函数h（x）的最小值为0，问题得以证明；
（3）构造函数m（x）=ln（x+1）-$\frac{x}{x+1}$，x∈[0，1]，求导，确定单调性，可得$\frac{1}{n+1}$＜ln（$\frac{1}{n}$+1）=ln$\frac{n+1}{n}$，累加，即可证明结论

解答 解：（1）∵F（x）=lnx-ax，x＞0，
∴F′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
①当a≤0时，F′（x）＞0恒成立，故函数F（x）在（0，+∞）上单调递增，
②当a＞0时，令F′（x）=0，解得x=$\frac{1}{a}$
当F′（x）＞0；即0＜x＜$\frac{1}{a}$，函数单调递增，
当F′（x）＜0，当x＞$\frac{1}{a}$，函数单调递减；
综上所述：当a≤0时，函数F（x）在（0，+∞）上单调递增，
当a＞0时，函数F（x）在（0，$\frac{1}{a}$∞）上单调递增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）上单调递减；
（2）∵g（x）=$\frac{（x-1）（1-λ+λx）}{x}$=λx+$\frac{λ-1}{x}$-2λ+1，
设h（x）=g（x）-h（x）=λx+$\frac{λ-1}{x}$-2λ+1-lnx，
∴h′（x）=λ-$\frac{λ-1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$=$\frac{λ{x}^{2}-x-（λ-1）}{{x}^{2}}$=$\frac{（λx+λ-1）（x-1）}{{x}^{2}}$，
令h′（x）=0，解得x=1，或x=$\frac{1-λ}{λ}$=$\frac{1}{λ}$-1
∵λ≥$\frac{1}{2}$，
∴x=$\frac{1-λ}{λ}$=$\frac{1}{λ}$-1≤1，
①当$\frac{1}{λ}$-1＞0时，即λ＜1时，
即当$\frac{1}{2}≤$λ＜1时，函数h（x）在（0，$\frac{，1-λ}{λ}$）和（1，+∞）为增函数，在（$\frac{1-λ}{λ}$，1）上为减函数，
所以当x=1时，h（x）min=h（1）=0，
∴当$\frac{1}{2}≤$λ＜1时，f（x）≤g（x）在[1，+∞）上恒成立；
②当λ≥1时，函数h（x）在（1，+∞）为增函数，在（0，1）上为减函数，
所以当x=1时，h（x）min=h（1）=0，
∴当λ≥1时，f（x）≤g（x）在[1，+∞）上恒成立，
综上所述当λ≥$\frac{1}{2}$时，f（x）≤g（x）在[1，+∞）上恒成立；
（3）∵数列{a_n}的通项公式为a_n=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$，
∴a_2n-a_n+$\frac{1}{2n}$=（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$+…+$\frac{1}{2n}$）-（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$）+$\frac{1}{2n}$=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n}$+$\frac{1}{2n}$，
设m（x）=ln（x+1）-$\frac{x}{x+1}$，x∈[0，1]，求导得m′（x）=$\frac{x}{（x+1）^{2}}$≥0，
所以函数m（x）在区间[0，1]上单调递增，
由于0＜$\frac{1}{n}$≤1，故m（$\frac{1}{n}$）＞m（0）=0，
即ln（1+$\frac{1}{n}$）-$\frac{1}{n+1}$＞0，
所以$\frac{1}{n+1}$＜ln（$\frac{1}{n}$+1）=ln$\frac{n+1}{n}$
累加即得$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n}$+$\frac{1}{2n}$＜ln（$\frac{n+1}{n}$×$\frac{n+2}{n+1}$×…×$\frac{2n}{2n-1}$×$\frac{2n}{2n-1}$）=ln（2×$\frac{2n}{2n-1}$）＜ln2，
故原不等式成立．

点评 本题考查导数和函数的单调性以及和最值的关系，以及不等式的证明，关键是构造函数，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．