Question

17．已知椭圆的焦点分别为F₁（-4，0），F₂（4，0），离心率e=0.8．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）在椭圆上是否存在点P，使$\overrightarrow{{F}_{1}P}$•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=0，若存在，求出坐标．

Answer 1

分析 （1）由题意可设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）．利用c=4，$\frac{c}{a}=0.8$，b²=a²-c²，解出即可．
（2）当点P取椭圆短轴的一个端点时，∠F₁PF₂取得最大值，而tan∠OPF₁=$\frac{4}{3}$＞1，可得∠F₁PF₂＞90°．因此在椭圆上是否存在点P，使$\overrightarrow{{F}_{1}P}$•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=0．
设P（x₀，y₀），联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{0}^{2}}{25}+\frac{{y}_{0}^{2}}{9}=1}\\{{x}_{0}^{2}-16+{y}_{0}^{2}=0}\end{array}\right.$，解出即可．

解答 解：（1）由椭圆的焦点分别为F₁（-4，0），F₂（4，0），离心率e=0.8．
可设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）．
则c=4，$\frac{c}{a}=0.8$，b²=a²-c²，
解得c=4，a=5，b=3．
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$．
（2）当点P取椭圆短轴的一个端点时，∠F₁PF₂取得最大值，
而tan∠OPF₁=$\frac{4}{3}$＞1，∴∠F₁PF₂＞90°．
因此在椭圆上存在点P，使$\overrightarrow{{F}_{1}P}$•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=0．
设P（x₀，y₀），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{0}^{2}}{25}+\frac{{y}_{0}^{2}}{9}=1}\\{{x}_{0}^{2}-16+{y}_{0}^{2}=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=±\frac{5\sqrt{7}}{4}}\\{{y}_{0}=±\frac{9}{4}}\end{array}\right.$，
∴P$（±\frac{5\sqrt{7}}{4}，±\frac{9}{4}）$．

点评 本题考查了椭圆的定义及其性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．