Question

13．如图所示，在四棱锥中A-BCDE中，AE⊥面EBCD，且四边形EBCD是菱形，∠BED=120°，AE=BE=2，F是BC上的动点（不包括端点）．
（1）当F是BC的中点时，求点F到面ACD的距离；
（2）当F在由B向C移动的过程中，能否存在一个位置使得二面角F-AD-C的余弦值为$\frac{15}{\sqrt{231}}$？若存在，求出BF的长，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）以E为原点，ED为y轴，EA为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面ACD的法向量，由此能求出点F到面ACD的距离；
（2）设F（$\sqrt{3}$，m，0），求出平面AFD的法向量，利用向量的夹角公式，即可得出结论．

解答 解：（1）以E为原点，ED为y轴，EA为z轴．
建立空间直角坐标系，由已知得F（$\sqrt{3}$，0，0），A（0，0，2），C（$\sqrt{3}$，1，0），D（0，2，0），
$\overrightarrow{AC}$=（$\sqrt{3}$，1，-2），$\overrightarrow{AD}$=（0，2，-2），
设平面ACD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x+y-2z=0}\\{2y-2z=0}\end{array}\right.$，
取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1，1），
$\overrightarrow{AF}$=（$\sqrt{3}$，0，-2），
∴点F到面ACD的距离d=$\frac{|\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
（2）设F（$\sqrt{3}$，m，0），平面AFD的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），则
∵$\overrightarrow{AF}$=（$\sqrt{3}$，m，-2），$\overrightarrow{AD}$=（0，2，-2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x+my-2=0}\\{2y-2z=0}\end{array}\right.$，
取y=1，得$\overrightarrow{m}$=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$（2-m），1，1），
∵二面角F-AD-C的余弦值为$\frac{15}{\sqrt{231}}$，
∴$\frac{|2-m+1+1|}{\sqrt{\frac{（2-m）^{2}}{3}+1+1}•\sqrt{\frac{1}{3}+1+1}}$=$\frac{15}{\sqrt{231}}$，
∴7m²-6m+187=0，方程无解，
∴不存在一个位置使得二面角F-AD-C的余弦值为$\frac{15}{\sqrt{231}}$．

点评 本题考查点到平面的距离的求法，考查二面角F-AD-C的余弦值，是中档题，正确求出平面的法向量是解题的关键．