Question

18．设{a_n}是等差数列，{b_n}是各项都为正整数的等比数列，且a₁=b₁=1，a₁₃b₂=50，a₈+b₂=a₃+a₄+5，n∈N^*．
（Ⅰ）求{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{d_n}满足${d_n}{d_{n+1}}={（\frac{1}{2}）^{-8+{{log}_2}{b_{n+1}}}}$（n∈N^*），且d₁=16，试求{d_n}的通项公式及其前2n项和S_2n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过{b_n}的各项都为正整数及$\left\{\begin{array}{l}（1+12d）q=50\\（1+7d）+q=（1+2d）+（1+3d）+5\end{array}\right.$，可得解得$\left\{{\begin{array}{l}{d=2}\\{q=2}\end{array}}\right.$，从而可得结论；
（Ⅱ）通过（I）及log₂b_n+1=n可得$\frac{{{d_{n+2}}}}{d_n}=\frac{1}{2}$，结合已知条件可得d₁，d₃，d₅，…是以d₁=16为首项、以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，d₂，d₄，d₆，…是以d₂=8为首项、以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，分别求出各自的通项及前n项和，计算即可．

解答 解：（Ⅰ）设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，则依题意有q＞0，
且$\left\{\begin{array}{l}（1+12d）q=50\\（1+7d）+q=（1+2d）+（1+3d）+5\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}（1+12d）q=50\\ 2d+q=6\end{array}\right.$，
解得$\left\{{\begin{array}{l}{d=2}\\{q=2}\end{array}}\right.$，或$\left\{{\begin{array}{l}{d=\frac{11}{12}}\\{q=\frac{25}{6}}\end{array}}\right.$，
由于{b_n}各项都为正整数的等比数列，所以$\left\{{\begin{array}{l}{d=2}\\{q=2}\end{array}}\right.$，
从而a_n=1+（n-1）d=2n-1，${b_n}={q^{n-1}}={2^{n-1}}$；
（Ⅱ）∵${b_n}={2^{n-1}}$，∴log₂b_n+1=n，
∴${d_n}{d_{n+1}}={（\frac{1}{2}）^{-8+n}}$，${d_{n+1}}{d_{n+2}}={（\frac{1}{2}）^{-7+n}}$，
两式相除：$\frac{{{d_{n+2}}}}{d_n}=\frac{1}{2}$，
由d₁=16，${d_1}{d_2}={（\frac{1}{2}）^{-8+1}}=128$，可得：d₂=8，
∴d₁，d₃，d₅，…是以d₁=16为首项，以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列；
d₂，d₄，d₆，…是以d₂=8为首项，以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
∴当n为偶数时，${d_n}=8×{（\frac{1}{2}）^{\frac{n}{2}-1}}=16{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）^n}$，
当n为奇数时，${d_n}=16×{（\frac{1}{2}）^{\frac{n+1}{2}-1}}=16\sqrt{2}{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）^n}$，
综上，${d}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{16（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{n}，}&{n为偶数}\\{16\sqrt{2}（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{n}，}&{n为奇数}\end{array}\right.$，
∴S_2n=（d₁+d₃+…+d_2n-1）+（d₂+d₄+…+d_2n）
=$\frac{{16×[1-{{（\frac{1}{2}）}^n}]}}{{1-\frac{1}{2}}}+\frac{{8×[1-{{（\frac{1}{2}）}^n}]}}{{1-\frac{1}{2}}}=32[1-{（\frac{1}{2}）^n}]+16[1-{（\frac{1}{2}）^n}]=48-48{（\frac{1}{2}）^n}$．

点评 本题考查等差、等比数列的基本性质，求通项及前n项和，考查对数的性质，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．