Question

7．已知焦点在x轴的椭圆$C：\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{b^2}=1$（b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，直线AB过右焦点F₂，和椭圆交于A，B两点，且满足$\overrightarrow{A{F_2}}=2\overrightarrow{{F_2}B}$，直线AB的斜率为$\sqrt{5}$．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设F为椭圆C的右焦点，T为直线x=t（t∈R，t≠2）上纵坐标不为0的任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．
（ⅰ）若OT平分线段PQ（其中O为坐标原点），求t的值；
（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，当$\frac{|TF|}{|PQ|}$最小时，求点T的坐标．

Answer 1

分析 （1）由已知焦点在x轴的椭圆$C：\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{b^2}=1$（b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，可得a，c，b．然后求解椭圆的标准方程．
（2）（ⅰ）由（1）可得，F点的坐标是（2，0）．设直线PQ的方程为x=my+2，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，利用△＞0．利用韦达定理设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），设M为PQ的中点，求出M点的坐标，通过TF⊥PQ，直线FT的斜率为-m，写出方程为y=-m（x-2）．通过直线OT的斜率为$\frac{{-m（{t-2}）}}{t}$，其方程为$y=\frac{m（2-t）}{t}x$．
将M点的坐标代入，求出t．
（ⅱ）由（ⅰ）知T为直线x=3上任意一点可得，点T点的坐标为（3，-m）．求出$|TF|=\sqrt{{m^2}+1}$，|PQ|，化简$\frac{|TF|}{|PQ|}$利用基本不等式求出最值，然后求解T点的坐标．

解答 解：（1）由已知焦点在x轴的椭圆$C：\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{b^2}=1$（b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，可得a=$\sqrt{6}$，F₂（c，0），
直线AB过右焦点F₂，和椭圆交于A，B两点，且满足$\overrightarrow{A{F_2}}=2\overrightarrow{{F_2}B}$，直线AB的斜率为$\sqrt{5}$．
设A（$c-2t，-2\sqrt{5}t$），B（$c+t，\sqrt{5}t$）．
可得$\left\{\begin{array}{l}\frac{{（c-2t）}^{2}}{6}+\frac{（-2\sqrt{5}t）^{2}}{{b}^{2}}=1\\ \frac{{（c+t）}^{2}}{6}+\frac{（\sqrt{5}t）^{2}}{{b}^{2}}=1\\{b}^{2}+{c}^{2}=6\end{array}\right.$，解得，b²=2，c=2
∴椭圆C的标准方程是$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$．…（4分）
（2）（ⅰ）由（1）可得，F点的坐标是（2，0）．
设直线PQ的方程为x=my+2，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得$\left\{\begin{array}{l}x=my+2\\ \frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1.\end{array}\right.$
消去x，得（m²+3）y²+4my-2=0，其判别式△=16m²+8（m²+3）＞0．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则y₁+y₂=$\frac{-4m}{{m}^{2}+3}$，y₁y₂=$\frac{-2}{{m}^{2}+3}$．于是x₁+x₂=m（y₁+y₂）+4=$\frac{12}{{m}^{2}+3}$．
设M为PQ的中点，则M点的坐标为$（\frac{6}{{{m^2}+3}}，\frac{-2m}{{{m^2}+3}}）$．
因为TF⊥PQ，所以直线FT的斜率为-m，其方程为y=-m（x-2）．
当x=t时，y=-m（t-2），所以点T的坐标为（t，-m（t-2）），
此时直线OT的斜率为$\frac{{-m（{t-2}）}}{t}$，其方程为$y=\frac{m（2-t）}{t}x$．
将M点的坐标为$（\frac{6}{{{m^2}+3}}，\frac{-2m}{{{m^2}+3}}）$代入，得$\frac{-2m}{{{m^2}+3}}=\frac{m（2-t）}{t}•\frac{6}{{{m^2}+3}}$．
解得t=3．…（8分）
（ⅱ）由（ⅰ）知T为直线x=3上任意一点可得，点T点的坐标为（3，-m）．
于是$|TF|=\sqrt{{m^2}+1}$，|PQ|=$\frac{{\sqrt{24}（{m^2}+1）}}{{{m^2}+3}}$．
所以$\frac{|TF|}{|PQ|}=\sqrt{{m^2}+1}•\frac{{{m^2}+3}}{{\sqrt{24}（{m^2}+1）}}=\frac{1}{{\sqrt{24}}}•\sqrt{\frac{{{{（{m^2}+3）}^2}}}{{{m^2}+1}}}$=$\frac{1}{{\sqrt{24}}}•\sqrt{\frac{{{{（{m^2}+3）}^2}}}{{{m^2}+1}}}=\frac{1}{{\sqrt{24}}}•\sqrt{\frac{{{{（{m^2}+1）}^2}+4（{m^2}+1）+4}}{{{m^2}+1}}}$=$\frac{1}{{\sqrt{24}}}•\sqrt{{m^2}+1+\frac{4}{{{m^2}+1}}+4}$$≥\frac{1}{{\sqrt{24}}}•\sqrt{2\sqrt{4}+4}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
当且仅当m²+1=$\frac{4}{m2+1}$，即m=±1时，等号成立，此时$\frac{|TF|}{|PQ|}$取得最小值$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
故当$\frac{|TF|}{|PQ|}$最小时，T点的坐标是（3，1）或（3，-1）．…（12分）

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆 标准方程的求法，考查转化思想以及计算能力．