Question

6．设{a_n}是等差数列，{b_n}是各项都为正整数的等比数列，且a₁=b₁=1，a₁₃b₂=50，a₈+b₂=a₃+a₄+5，n∈N^*．
（Ⅰ）求{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{d_n}满足${d_n}{d_{n+1}}={（\frac{1}{2}）^{-8+{{log}_2}{b_{n+1}}}}$（n∈N^*），且d₁=16，试求{d_n}的通项公式及其前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，则依题意有q＞0，利用a₁₃b₂=50，a₈+b₂=a₃+a₄+5，列出方程组，求解公差与公比，然后求解通项公式．
（Ⅱ）利用关系式推出$\frac{{{d_{n+2}}}}{d_n}=\frac{1}{2}$，得到{d_n}是奇数项与偶数项分别是等比数列；求出通项公式，然后求解前n项和S_n．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，则依题意有q＞0，
且$\left\{\begin{array}{l}（1+12d）q=50\\（1+7d）+q=（1+2d）+（1+3d）+5\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}（1+12d）q=50\\ 2d+q=6\end{array}\right.$解得：$\left\{{\begin{array}{l}{d=2}\\{q=2}\end{array}}\right.$，或$\left\{{\begin{array}{l}{d=\frac{11}{12}}\\{q=\frac{25}{6}}\end{array}}\right.$，
由于{b_n}是各项都为正整数的等比数列，所以$\left\{{\begin{array}{l}{d=2}\\{q=2}\end{array}}\right.$…（2分）
从而a_n=1+（n-1）d=2n-1，${b_n}={q^{n-1}}={2^{n-1}}$．   …（4分）
（Ⅱ）∵${b_n}={2^{n-1}}$∴log₂b_n+1=n∴${d_n}{d_{n+1}}={（\frac{1}{2}）^{-8+n}}$，${d_{n+1}}{d_{n+2}}={（\frac{1}{2}）^{-7+n}}$
两式相除：$\frac{{{d_{n+2}}}}{d_n}=\frac{1}{2}$，
由d₁=16，${d_1}{d_2}={（\frac{1}{2}）^{-8+1}}=128$，得：d₂=8∴d₁，d₃，d₅，…是以d₁=16为首项，以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列；
d₂，d₄，d₆，…是以d₂=8为首项，以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列   …（6分）
∴当n为偶数时，${d_n}=8×{（\frac{1}{2}）^{\frac{n}{2}-1}}=16{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）^n}$…（7分）
S_n=（d₁+d₃+…+d_n-1）+（d₂+d₄+…+d_n）=$\frac{{16×[1-{{（\frac{1}{2}）}^{\frac{n}{2}}}]}}{{1-\frac{1}{2}}}+\frac{{8×[1-{{（\frac{1}{2}）}^{\frac{n}{2}}}]}}{{1-\frac{1}{2}}}=32[1-{（\frac{1}{2}）^{\frac{n}{2}}}]+16[1-{（\frac{1}{2}）^{\frac{n}{2}}}]=48-48{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）^n}$…（9分）
∴当n为奇数时，${d_n}=16×{（\frac{1}{2}）^{\frac{n+1}{2}-1}}=16\sqrt{2}{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）^n}$…（10分）
S_n=（d₁+d₃+…+d_n）+（d₂+d₄+…+d_n-1）
S_n=$\frac{{16×[1-{{（\frac{1}{2}）}^{\frac{n+1}{2}}}]}}{{1-\frac{1}{2}}}+\frac{{8×[1-{{（\frac{1}{2}）}^{\frac{n-1}{2}}}]}}{{1-\frac{1}{2}}}=32[1-{（\frac{1}{2}）^{\frac{n+1}{2}}}]+16[1-{（\frac{1}{2}）^{\frac{n-1}{2}}}]=48-32\sqrt{2}{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）^n}$
∴${d_n}=\left\{{\begin{array}{l}{16{{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）}^n}}\\{16\sqrt{2}{{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）}^n}}\end{array}}\right.$，${S_n}=\left\{{\begin{array}{l}{48-48{{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）}^n}}\\{48-32\sqrt{2}{{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）}^n}}\end{array}}\right.$…（12分）

点评 本题考查等差数列与等比数列的求和，递推关系式的应用，考查数列的函数特征，考查计算能力．