Question

14．已知A、B、C为直线l上不同的三点，点O∉直线l，实数x满足关系式x²$\overrightarrow{OA}+2x\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow 0$，有下列结论中正确的个数有（　　）
①${\overrightarrow{OB}^2}-\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OA}$≥0；   
②${\overrightarrow{OB}^2}-\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OA}$＜0；
③x的值有且只有一个；   
④x的值有两个；
⑤点B是线段AC的中点．

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 由存在实数x满足x²$\overrightarrow{OA}+2x\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow 0$，△≥0，得出①正确、②错误；
由x²$\overrightarrow{OA}$+2x$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，得出$\overrightarrow{OC}$=-x²$\overrightarrow{OA}$-2x$\overrightarrow{OB}$，根据平面向量的基本定理，得出-x²-2x=1，判断③正确、④错误；
由$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$），得出B是线段AC的中点，判断⑤正确．

解答 解：对于①，存在实数x满足x²$\overrightarrow{OA}+2x\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow 0$，∴${\overrightarrow{OB}}^{2}$-$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$≥0，∴①正确，②错误；
对于③，∵x²$\overrightarrow{OA}$+2x$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，变形为$\overrightarrow{OC}$=-x²$\overrightarrow{OA}$-2x$\overrightarrow{OB}$，
∵A、B、C为直线l上不同的三点，点O∉直线l，
∴-x²-2x=1，解得x=-1，∴③正确；
对于④，由③知，④错误；
对于⑤，由③知，$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$），∴点B是线段AC的中点，⑤正确；
综上，正确的命题是①③⑤．
故选：C．

点评 本题考查了平面向量的应用问题，也考查了一元二次方程有实数根的应用问题，是综合性题目．