Question

9．在数列{a_n}中，$\frac{1}{（2-1）{a}_{1}}$+$\frac{1}{（{2}^{2}-1）{a}_{2}}$…+$\frac{1}{（{2}^{n}-1）{a}_{n}}$=2n-1+$\frac{1}{{2}^{n}}$，则数列{a_n}的前n项和S_n=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．

Answer 1

分析 利用递推式可得：a_n=$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，再利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：∵$\frac{1}{（2-1）{a}_{1}}$+$\frac{1}{（{2}^{2}-1）{a}_{2}}$…+$\frac{1}{（{2}^{n}-1）{a}_{n}}$=2n-1+$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴当n≥2时，$\frac{1}{（2-1）{a}_{1}}$+$\frac{1}{（{2}^{2}-1）{a}_{2}}$…+$\frac{1}{（{2}^{n-1}-1）{a}_{n-1}}$=2n-3+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴$\frac{1}{（{2}^{n}-1）{a}_{n}}$=2-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴a_n=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．
∴数列{a_n}的前n项和S_n=$（\frac{1}{2-1}-\frac{1}{{2}^{2}-1}）$+$（\frac{1}{{2}^{2}-1}-\frac{1}{{2}^{3}-1}）$+…+$（\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}）$
=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．
故答案为：1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．

点评 本题考查了递推式的应用、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．