Question

3．已知函数f（x）=（x²-ax+1）e^x，x∈R．
（1）若函数f（x）的图象在（0，f（0））处的切线与直线x+y-3=0垂直，求实数a的值；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）当a=2时，若对于任意x∈[-2，2]，t∈[1，3]，f（x）≥t²-2mt+2恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，利用f（x）的图象在（0，f（0））处的切线与直线x+y-3=0垂直，求解a．
（2）通过f′（x）=0，可得x=-1，或x=a-1，通过当a=0时，当a＞0时，当a＜0时，判断函数的单调性，推出结果即可．
（3）利用当a=2时，求出f（x）=（x²-2x+1）e^x，结合（2），f（x）的单调性，转化原命题等价于不等式0≥t²-2mt+2在t∈[1，3]恒成立，就是$m≥\frac{t}{2}+\frac{1}{t}$在t∈[1，3]恒成立，利用基本不等式求出最值即可．

解答 解：（1）∵f′（x）=（2x-a）e^x+（x²-ax+1）e^x=[x²+（2-a）x-a+1]e^x
∴f′（0）=（1-a）e⁰=1-a，…（2分）
∵f（x）的图象在（0，f（0））处的切线与直线x+y-3=0垂直，
∴（1-a）×（-1）=-1，可得a=0．…（4分）
（2）由（1）f′（x）=[x²+（2-a）x-a+1]e^x=（x+1）（x-a+1）e^x，
令f′（x）=0，可得x=-1，或x=a-1，
所以当a=0时，f′（x）=（x+1）²e^x≥0在R上恒成立，函数f（x）在R上单调递增； …（6分）
当a＞0时，a-1＞-1，在（-∞，-1）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，
在（-1，a-1）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（a-1，+∞）上f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当a＜0时，a-1＜-1，在（-∞，a-1）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，
在（a-1，-1）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（-1，+∞）上f′（x）＞0，f（x）单调递增；…（8分）
（3）当a=2时，f（x）=（x²-2x+1）e^x，由（2）可知，f（x）在（-2，-1）上单调递增，在（-1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增；所以f（x）在x=1处取得极小值0，而$f（-2）=\frac{9}{e^2}＞0$，所以f（x）在[-2，2]上取得最小值0，原命题等价于不等式0≥t²-2mt+2在t∈[1，3]恒成立，…（10分）
即：$m≥\frac{t}{2}+\frac{1}{t}$在t∈[1，3]恒成立，只需$m≥{（\frac{t}{2}+\frac{1}{t}）_{max}}$，
令$g（t）=\frac{t}{2}+\frac{1}{t}$，可得g（t）在$[1，\sqrt{2}]$上单调递减，在$[\sqrt{2}，3]$上单调递增，
而$\frac{3}{2}=g（1）＜g（3）=\frac{11}{6}$，所以${g_{max}}（t）=\frac{11}{6}$，…（12分）
所以$m≥\frac{11}{6}$．…（13分）

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，构造法以及基本不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力．