Question

9．设f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+a（其中a∈R）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若f（x）的最小值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+a，根据三角函数的周期性及其求法可求f（x）的最小正周期；
（2）由（1）及三角函数的最值可得f（x）_min=$\frac{\sqrt{3}}{2}$=-1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+a，从而解得a的值．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+a（其中a∈R）．
=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+a，
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）∵f（x）_min=$\frac{\sqrt{3}}{2}$=-1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+a，
∴可解得：a=1．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值的应用，属于基础题．