Question

12．已知数列{a_n+1+a_n}的前n项和S_n=2ⁿ⁺¹-2，a₁=0．
（1）求数列{a_n+1+a_n}的通项公式；
（2）求a_2n．

Answer 1

分析 （1）当n≥2时b_n=S_n-S_n-1=2ⁿ，当n=1时b₁=2满足n≥2时b_n的形式，即得结论；
（2）由a_n+1+a_n=b_n=2ⁿ可得a_n+2+a_n+1=2ⁿ⁺¹，两式相减得a_n+2-a_n=2ⁿ，利用拆项法将a_2n写成a₂+（a₄-a₂）+（a₆-a₄）+…+（a_2n-2-a_2n-4）+（a_2n-a_2n-2），计算即可．

解答 解：（1）设a_n+1+a_n=b_n，
则n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ⁺¹-2）-（2ⁿ-2）=2ⁿ，
当n=1时，b₁=S₁=2，满足n≥2时b_n的形式，
∴a_n+1+a_n=b_n=2ⁿ；
（2）由（1）可知a_n+1+a_n=b_n=2ⁿ，a_n+2+a_n+1=2ⁿ⁺¹，
两式相减，得a_n+2-a_n=2ⁿ，
又∵a₁=0，a₁+a₂=2，
∴a₂=2，
∴a_2n=a₂+（a₄-a₂）+（a₆-a₄）+…+（a_2n-2-a_2n-4）+（a_2n-a_2n-2）
=2+2²+2⁴+…+2^2n-4+2^2n-2
=2+$\frac{{2}^{2}-{2}^{2n-2}•{2}^{2}}{1-{2}^{2}}$
=$\frac{{2}^{2n}}{3}+\frac{2}{3}$．

点评 本题考查求数列的通项、前n项和，利用拆项法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．