Question

9．已知一个正三棱柱，一个体积为$\frac{4π}{3}$的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个正三棱柱的表面积是$18\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由球的体积可以求出半径，从而得棱柱的高；由球与正三棱柱的三个侧面相切，得球的半径和棱柱底面正△边长的关系，求出边长，即求出底面正△的面积；得出棱柱的表面积．

解答 解：此棱柱为正棱柱，体积$\frac{4π}{3}$的球体半径为1，由此可以得到三棱柱的高为2，
底面正三角形内切圆的半径为1，
故底面三角形高为3边长为2$\sqrt{3}$，
所以正三棱柱的表面积S=2×$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×3+3×2$\sqrt{3}$×2=18$\sqrt{3}$．
故答案为：$18\sqrt{3}$．

点评 本题考查了球的体积，柱体体积公式的应用；本题的解题关键是求底面边长，这是通过正△的内切圆与边长的关系得出的．