Question

16．如图，△ABC为直角三角形，∠BAC=90°，PA⊥平面ABC，A为垂足．PC与底面成30°角，且AB=a，AC=2a．
（1）求点A到平面PBC的距离；
（2）求二面角A-PC-B的大小．

Answer 1

分析 （1）过A作AE⊥PC，垂足为E，连接BE，作AH⊥BE，垂足为H，证明AH⊥平面PBC，即可求点A到平面PBC的距离；
（2）由（1）知，∠BEA为二面角A-PC-B的平面角，即可求二面角A-PC-B的大小．

解答 解：（1）过A作AE⊥PC，垂足为E，连接BE，作AH⊥BE，垂足为H，则
∵∠BAC=90°，
∴BA⊥AC，
∵PA⊥平面ABC，BA?平面ABC，
∴BA⊥PA，
∵PA∩AC=A，
∴BA⊥平面PAC，
∵AE⊥PC，
∴BE⊥PC，
∵AE⊥PC，AE∩BE=E，
∴PC⊥平面ABE，
∴PC⊥AH，
∵AH⊥BE，PC∩BE=E，
∴AH⊥平面PBC
Rt△EAC中，∠ECA=30°，AC=2a，∴AE=a，
Rt△EAB中，AB=a，∴AH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴点A到平面PBC的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$a；
（2）由（1）知，∠BEA为二面角A-PC-B的平面角，且∠BEA=45°．

点评 本题考查二面角A-PC-B的平面角、点A到平面PBC的距离，考查学生分析解决问题的能力，证明AH⊥平面PBC
是关键．